Hola Ignacio,
Por un lado, el gradiente es:
$$\nabla f(0,0)=\left(f^\prime_x(0,0),f^\prime_y(0,0)\right)$$
Pero por otro lado, las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales. Justamente su definición es ser la derivada con respecto a los versores canónicos. Fijate en el cuaderno cuando se definieron por primera vez y vas a ver que salen de ahí. Que su cuenta se pueda hacer derivando respecto de una variable considerando el resto constante es consecuencia de la definición. En ese sentido, efectivamente:
$$f^\prime_x(0,0)=f^\prime((0,0),(1,0))$$
Saludos
Por un lado, el gradiente es:
$$\nabla f(0,0)=\left(f^\prime_x(0,0),f^\prime_y(0,0)\right)$$
Pero por otro lado, las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales. Justamente su definición es ser la derivada con respecto a los versores canónicos. Fijate en el cuaderno cuando se definieron por primera vez y vas a ver que salen de ahí. Que su cuenta se pueda hacer derivando respecto de una variable considerando el resto constante es consecuencia de la definición. En ese sentido, efectivamente:
$$f^\prime_x(0,0)=f^\prime((0,0),(1,0))$$
Saludos