Hola buenos dias. No entendi bien ese ultimo paso del ejercicio. Halle la derivada direccional en un punto y quiero saber si es diferenciable. Para eso quecheo si se cumple que la dervidad direccional en el punto es igual al gradiente por el versor. Pero no entendi porque el gradiente lo pusiste como la derivada direccional evaluada en (1,0) y (0,1). No entendi ese paso. No tendrias que derivar la funcikn con respecto a x y y ?
Hola Ignacio,
Por un lado, el gradiente es:
$$\nabla f(0,0)=\left(f^\prime_x(0,0),f^\prime_y(0,0)\right)$$
Pero por otro lado, las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales. Justamente su definición es ser la derivada con respecto a los versores canónicos. Fijate en el cuaderno cuando se definieron por primera vez y vas a ver que salen de ahí. Que su cuenta se pueda hacer derivando respecto de una variable considerando el resto constante es consecuencia de la definición. En ese sentido, efectivamente:
$$f^\prime_x(0,0)=f^\prime((0,0),(1,0))$$
Saludos
Por un lado, el gradiente es:
$$\nabla f(0,0)=\left(f^\prime_x(0,0),f^\prime_y(0,0)\right)$$
Pero por otro lado, las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales. Justamente su definición es ser la derivada con respecto a los versores canónicos. Fijate en el cuaderno cuando se definieron por primera vez y vas a ver que salen de ahí. Que su cuenta se pueda hacer derivando respecto de una variable considerando el resto constante es consecuencia de la definición. En ese sentido, efectivamente:
$$f^\prime_x(0,0)=f^\prime((0,0),(1,0))$$
Saludos