Espacio para consultas sobre la Unidad 8: Ecuaciones Diferenciales
Buenas profe! tenía una duda con el ejercicio 20 de la guía. Te adjunto foto de como discretice el problema, a la hora de avanzar con el proceso no me muevo de los valores semilla 0 y 1. Quería saber donde estaba el error, gracias!
Hola Franco! está mal discretizado. El reemplazo que haces es du/dt =w. Entonces el sistema te queda de 2 ecuaciones: la ed original luego de hacer el reemplazo (ec1) y el cambio de variable de u a w (ec2):
dw/dt = - u (1) --> fw (t, u, w) = -u
du/dt = w (2) --> fu (t, u, w) = w
Entonces la discretización quedaría:
un+1 = un + k * wn
wn+1 = wn + k * (-un)
y tenes que arrancar con u0 = 0 y w0 = 1
Saludos!
dw/dt = - u (1) --> fw (t, u, w) = -u
du/dt = w (2) --> fu (t, u, w) = w
Entonces la discretización quedaría:
un+1 = un + k * wn
wn+1 = wn + k * (-un)
y tenes que arrancar con u0 = 0 y w0 = 1
Saludos!
Hola Marina, como estas? Te hago unas preguntas sobre los ejercicios 5 y 6 de la guia.
En el ejercicio 5 para usar Euler inverso tengo q hacer F(Un+1) pero nose como hacer para averiguar ese Un+1 cuando n=0. Y otra cosa, como paso de calculo estaría bien usar k=0,1 si no me especifican ningún otro?
Y en caso de seguir con el ejercicio hasta donde debería aproximar mi U, es decir cuando dejo de hacer las cuentas si no me aclara.
Y en el ejercicio 6, te pide resolverlo por RK2, y también me quede trabada en n=0, porque cuando hago el paso del corrector es decir el de Un+1, no se donde donde averiguo tn+1/2. Supongo q lo tendría que sacar por el paso de calculo pero tampoco me lo dan, entonces no se cual usar o en q me tengo q basar para elegirlo.
Muchas gracias
Hola! tardísimo y ya lo vimos presencial :/ pero lo respondo para que quede acá.
Ejercicio 5: en la materia en los ultimos cuatris no se están dando métodos implicitos como Euler inverso. En los métodos implícitos la resolucion no es directa por esto de que se tiene un+1 a ambos lados, entonces hay que resolver una ecuación. Salteenlos o resuélvanlos con cualquiera de los explícitos.
Ejercicio 6: t_n+1/2 sería el t que queda justo en el medio entre tn y tn+1. Por ejemplo, en este ejercicio, si tomamos h=0.1, en n=0: tn=0, tn+1 = 0.1, tn+1/2=0.05.
Hola buenas. Tengo una duda del ejercicio 31 de la guía. No sé si se trata de un error pero en las condiciones de borde que nos dan aparece u evaluado en 2, y nos piden resolver la ecuación diferencial para x entre -1 y 1. Gracias.
Buenas! si, se trata de un error, el dominio sería [1,2].
Holaa, como estas?? Te hago una pregunta sobre algunos ejercicios de la guia.
En el 8 te pide estimar el tamaño de la malla para obtener una precisión 10^-4, como puedo conseguir eso?
En el 14, nose como demostrar como se refleja el orden de precisión del esquema en la reducción del error de truncamiento.
En el 17 nose como darme cuenta cual seria un metodo numérico apropiado para resolver ese sistema de ecuaciones diferenciales.
Buenas!
Ejercicio 8.
Para obtener una precisión de 10^-4, podríamos pedirle al resultado que tenga un error menor a 0.5*10^-5. Se sabe que Euler es de orden 1, por lo tanto si el paso disminuye en una razon k, el error tambien disminuye en la misma razón aprox (el clasico ejemplo, si se disminuye h en 1/2, disminuye 1/2 el error). Entonces se podría resolver para un paso cualquiera h0, estimar el error E0 y luego buscar un paso h1 que cumpla con tener error menor al requerido, planteando lo siguiente:
error con h0: E0.
Por ser de orden 1:
error con h1 = h0/k: E1 = E0/k
E1 < 0.5*10^(-5) --> E0/k < 0.5*10^(-5) --> entonces teniendo E0 se puede despejar k, y con eso sacar h1 como h0/k
Ejercicio 8.
Para obtener una precisión de 10^-4, podríamos pedirle al resultado que tenga un error menor a 0.5*10^-5. Se sabe que Euler es de orden 1, por lo tanto si el paso disminuye en una razon k, el error tambien disminuye en la misma razón aprox (el clasico ejemplo, si se disminuye h en 1/2, disminuye 1/2 el error). Entonces se podría resolver para un paso cualquiera h0, estimar el error E0 y luego buscar un paso h1 que cumpla con tener error menor al requerido, planteando lo siguiente:
error con h0: E0.
Por ser de orden 1:
error con h1 = h0/k: E1 = E0/k
E1 < 0.5*10^(-5) --> E0/k < 0.5*10^(-5) --> entonces teniendo E0 se puede despejar k, y con eso sacar h1 como h0/k
El tema sería como calcular ese error E0, para estimarlo habria que buscar alguna otra solución para usar como exacta y hacer la resta con la u(0.1) calculado con h0. Podrías:
1) calcular u(0.1) con Euler y un h muy chico.
1) calcular u(0.1) con Euler y un h muy chico.
2) calcular u(0.1) con otro metodo de mayor orden
3) usar Euler para 2 pasos distintos y hacer extrapolación de RIchardson
3) usar Euler para 2 pasos distintos y hacer extrapolación de RIchardson
Está medio pensado para hacerse programando o con excel, a mano es demasiado largo.
Ejercicio 14.
Lo del orden de precisión sería el mismo concepto que en el 8, solo que en este caso te dan directamente la solución exacta, entonces es más facil de calcular. Entonces:
1) sacas las soluciones con k = 0.1 y k = 0.05
2) sacas el error para ambas comparando contra la exacta
3) te fijas que en cada caso, como 0.05 = 0.1 / 2, el error con 0.05 debería ser aproximadamente (error con 0.1) /2.
Lo del orden de precisión sería el mismo concepto que en el 8, solo que en este caso te dan directamente la solución exacta, entonces es más facil de calcular. Entonces:
1) sacas las soluciones con k = 0.1 y k = 0.05
2) sacas el error para ambas comparando contra la exacta
3) te fijas que en cada caso, como 0.05 = 0.1 / 2, el error con 0.05 debería ser aproximadamente (error con 0.1) /2.