Ejercicios de Parciales

Hola Delfina,

Tu resultado de esa normal es correcto (fijate que a ojo podés decir que la dirección normal al plano de ecuación 4x-8y+2z=2 es (4,-8,2), la misma dirección que la tuya). Detalle, es el plano tangente a la gráfica de f (no a f a secas, f es una función).
Tu problema ahora es como calcular el gradiente de g en el (4,-1) (lo que llamaste a y b), pero ya conseguiste una ecuación vectorial para hacerlo. Lo que te faltaría encontrar es el gradiente de f en el (1,2), a partir de su plano tangente.

Para resolverlo es recomendable parametrizar la gráfica de f:
$$\text{Gr}(f)=\left\{\bar{X}=(x,y,f(x,y)),(x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}$$
Entonces la dirección de su plano tangente también puede calcularse como el producto vectorial entre:
$$n(x,y)=(1,0,f^\prime_x(x,y))\times(0,1,f^\prime_y(x,y))\quad\Rightarrow\quad n(1,2)=(-f_x^\prime(1,2),-f_y^\prime(1,2),1)$$
Pero esa dirección debe coincidir con la de tu normal (2,-4,1). Eso te obliga a que
$$f_x^\prime(1,2)=-2,\qquad f_y^\prime(1,2)=4$$

Fijate si con esto te sale y sino volvé a preguntar.
Éxitos!