Hola Mati, cómo va? Te quería consultar por estos dos ejercicios.
El 5: me perdí en las segundas derivadas. Las estoy planteando mal no?
Hola Carolina,
Te piden 2das derivadas a partir de la implícita. El teorema de la función implícita te da expresiones para las primeras derivadas. Para las segundas, yo recomiendo recordar de donde sale la expresión de las derivadas primeras. Es decir, derivar miembro a miembro la ecuación implícita (lo hago respecto de x):
$$y-z+e^{xz}=0\quad\Rightarrow\quad-z^\prime_x+e^{xz}(z+xz^\prime_x)=0$$
donde usé que z=f(x,y) (revisá las cuentas porque las estoy haciendo en el aire). Evaluando en x=0, y=0, z=1 obtenemos que:
$$-z^\prime_x+1=0\quad\Rightarrow\quad z^\prime_x=f^\prime_x(0,0)=1$$
Fijate que es lo mismo que te dió a vos aplicando el teorema (hacer lo mismo derivando respecto de y). ¿Por que te recomiendo pensarlo así? Porque es fácil volver a derivar (lo voy a hacer respecto de x)
$$-z^{\prime\prime}_{xx}+e^{xz}(z+xz^\prime_x)^2+e^{xz}(z^{\prime\prime}_{xx}x+2z^\prime_x)=0$$
Evaluando en x=0, y=0, z=1 obtenemos que:
$$-z^{\prime\prime}_{xx}+1+2=0\quad\Rightarrow z^{\prime\prime}_{xx}=f^{\prime\prime}_{xx}(0,0)=3$$
Si repetís el procedimiento con las derivadas cruzadas y la derivada segunda respecto de y podés armarte la aproximación de segundo orden. Si no se entiende volvé a preguntar.
Saludos
Te piden 2das derivadas a partir de la implícita. El teorema de la función implícita te da expresiones para las primeras derivadas. Para las segundas, yo recomiendo recordar de donde sale la expresión de las derivadas primeras. Es decir, derivar miembro a miembro la ecuación implícita (lo hago respecto de x):
$$y-z+e^{xz}=0\quad\Rightarrow\quad-z^\prime_x+e^{xz}(z+xz^\prime_x)=0$$
donde usé que z=f(x,y) (revisá las cuentas porque las estoy haciendo en el aire). Evaluando en x=0, y=0, z=1 obtenemos que:
$$-z^\prime_x+1=0\quad\Rightarrow\quad z^\prime_x=f^\prime_x(0,0)=1$$
Fijate que es lo mismo que te dió a vos aplicando el teorema (hacer lo mismo derivando respecto de y). ¿Por que te recomiendo pensarlo así? Porque es fácil volver a derivar (lo voy a hacer respecto de x)
$$-z^{\prime\prime}_{xx}+e^{xz}(z+xz^\prime_x)^2+e^{xz}(z^{\prime\prime}_{xx}x+2z^\prime_x)=0$$
Evaluando en x=0, y=0, z=1 obtenemos que:
$$-z^{\prime\prime}_{xx}+1+2=0\quad\Rightarrow z^{\prime\prime}_{xx}=f^{\prime\prime}_{xx}(0,0)=3$$
Si repetís el procedimiento con las derivadas cruzadas y la derivada segunda respecto de y podés armarte la aproximación de segundo orden. Si no se entiende volvé a preguntar.
Saludos
Ahí recién lo hice y me dio! Muchas gracias Mati!!!! No la cazaba y esto fue muy útil