Espacio para consultas sobre la Unidad 4: Ecuaciones no lineales
Hola, te hago unas consultas sobre los ejercicios. para el ejercicio 1)b para calcular la cantidad de iteraciones utilice esta fórmula (adjunto foto)
Porque cuando realizo el método de bisección llego a la raíz 1,938 en la iteración numero 4? Capaz estoy realizando algo mal, adjunto foto de como lo realicé.
Pare el ejercicio nro 7, te pide que utilices el metodo hasta obtener dos decimales significativos, eso significa que la tolerancia tendria que ser 1e-2?
Buenas!
Ejercicio (1): es correcto el uso de la fórmula. Pero la tolerancia que se pide, es sobre la raíz x_k+1, no sobre F(x_k+1). Entonces en cada paso k se debe calcular el error de la raíz x_k+1. En general, en cualquier método, el error se puede estimar como la diferencia entre soluciones sucesivas. En el caso del método de la bisección, si consideramos la siguiente nomenclatura:
en cada iteración k --> se usa ak y bk --> para calcular una nueva raíz x_k+1,
la cota del error se puede calcular de forma exacta como (x_k+1) - (x_k), que va a coincidir con (bk-ak)/2.
Por ejemplo, para x2 = 1.75, el error va a ser x2-x1, es decir 1.75-1.5 = 0.25, que coincide con (b1-a1)/2 = (2-1.5)/2 = 0.25.
En la iteración 3, x4 = 1.9375, la cota del error de esa solución es x4-x3 = 0.0625, o lo que es lo mismo, (b3-a3) / 2 = (2-1.875)/2 = 0.0625, que es mayor a la tolerancia exigida. Lo mismo sucede en la iteración 4, donde x5 = 1.90625, y la cota del error es 0.03125. Recién en la iteración 5, el x6 calculado es 1.921875, y la cota de error es (b4-a4)/2 = 0.01560 < 0.02. Por lo tanto esa raíz x = 1.921875 es la primera que cumple la tolerancia exigida.
Ejercicio (1): es correcto el uso de la fórmula. Pero la tolerancia que se pide, es sobre la raíz x_k+1, no sobre F(x_k+1). Entonces en cada paso k se debe calcular el error de la raíz x_k+1. En general, en cualquier método, el error se puede estimar como la diferencia entre soluciones sucesivas. En el caso del método de la bisección, si consideramos la siguiente nomenclatura:
en cada iteración k --> se usa ak y bk --> para calcular una nueva raíz x_k+1,
la cota del error se puede calcular de forma exacta como (x_k+1) - (x_k), que va a coincidir con (bk-ak)/2.
Por ejemplo, para x2 = 1.75, el error va a ser x2-x1, es decir 1.75-1.5 = 0.25, que coincide con (b1-a1)/2 = (2-1.5)/2 = 0.25.
En la iteración 3, x4 = 1.9375, la cota del error de esa solución es x4-x3 = 0.0625, o lo que es lo mismo, (b3-a3) / 2 = (2-1.875)/2 = 0.0625, que es mayor a la tolerancia exigida. Lo mismo sucede en la iteración 4, donde x5 = 1.90625, y la cota del error es 0.03125. Recién en la iteración 5, el x6 calculado es 1.921875, y la cota de error es (b4-a4)/2 = 0.01560 < 0.02. Por lo tanto esa raíz x = 1.921875 es la primera que cumple la tolerancia exigida.
Hola, como estas? queria consultar sobre el ejercicio 10,b, cuando te pide que realices la grafica de procesos es a partir de la ecuacion de Newton Rapshon? o de la funcion sen original?
Hola! sería a partir de NR. Igualmente yo no haría este inciso, es demasiado largo. El ejercicio apunta a que por cancelación de términos el error es tan grande que nunca se llega a la precisión requerida.
En el método de la secante tengo q elegir dos valores semilla, arbitrariamente elegí 1 y 2, cuando voy a la formula me dice usar un x^(k-1) cual seria ese valor?
Y otra cosa que me genera dudas es con cuantos decimales realizo la cuenta?
Muchas gracias
Buenas! respondo sobre el Ejercicio 13.
En la primera iteracion, xi+1 = xi - f(xi)/ f'(xi). Para calcular f'(xi), usas xi y xi-1, y f(xi) y f(xi-1). Entonces quedaría:
x0= 1, x1=2, f(x0)= -0.59147, f(x1)= 0.0907.
f'(x1)= [ 0.0907 - (-0.59147) ] / [2 - 1] = 0.682170. Y el siguiente x, es decir, x2 sería:
x2 = x1- f(x1)/f'(x1)= 2 - [ 0.0907 / 0.682170 ] = 1.86704.
Con esos 2 valores semilla converge. La raíz no nula que deberías hallar es 1.93375.
Lo de los decimales es a criterio. Cuantos mas uses mas rapido va a converger. A priori diria 4 o 5.
En la primera iteracion, xi+1 = xi - f(xi)/ f'(xi). Para calcular f'(xi), usas xi y xi-1, y f(xi) y f(xi-1). Entonces quedaría:
x0= 1, x1=2, f(x0)= -0.59147, f(x1)= 0.0907.
f'(x1)= [ 0.0907 - (-0.59147) ] / [2 - 1] = 0.682170. Y el siguiente x, es decir, x2 sería:
x2 = x1- f(x1)/f'(x1)= 2 - [ 0.0907 / 0.682170 ] = 1.86704.
Con esos 2 valores semilla converge. La raíz no nula que deberías hallar es 1.93375.
Lo de los decimales es a criterio. Cuantos mas uses mas rapido va a converger. A priori diria 4 o 5.
Hola, como estas? en el ejercicio 16 te dice que lo realices por el metodo de Gauss seidel no lineal, pero como seria ese metodo? porque lo intente hacer con el Gauss seidel de la unidad 3 y me dio error, porque despeje X2= √(11,20)/X1. y en la iteracion K= 1, cuando busco X2 ^ 2 me queda la raiz de un numero negativo, por lo tanto error, nose si me explique bien sino mando foto de como me quedo.
Ejercicio 16.
Buenas! está bien tomar lo de la unidad 3. En este video: https://youtu.be/TuudOtuw_y8?list=PLpSEXqDH9rYcylnYLOlAu9cNxpLMoQZzh está explicado para ENL en el min 17.
En el caso del ejercicio 16 deberías despejar x1 de la ec 1 y x2 de la ec 2, entonces quedaría:
x1_k+1 = 11.20 /(x2_k^2)
x2_k+1 = -1.83 - x1_k+1
arrancando con x1_0= 1 y x2_0 = -3 y usando 3 digitos de precisión, el primer paso daría:
te da algo asi:
x1_1 = 11.20 /((-3)^2) = 1.24
x2_1= -1.83 - 1.24 = -3.07
y asi sucesivamente:
Buenas! está bien tomar lo de la unidad 3. En este video: https://youtu.be/TuudOtuw_y8?list=PLpSEXqDH9rYcylnYLOlAu9cNxpLMoQZzh está explicado para ENL en el min 17.
En el caso del ejercicio 16 deberías despejar x1 de la ec 1 y x2 de la ec 2, entonces quedaría:
x1_k+1 = 11.20 /(x2_k^2)
x2_k+1 = -1.83 - x1_k+1
arrancando con x1_0= 1 y x2_0 = -3 y usando 3 digitos de precisión, el primer paso daría:
te da algo asi:
x1_1 = 11.20 /((-3)^2) = 1.24
x2_1= -1.83 - 1.24 = -3.07
y asi sucesivamente:
x1 |
x2 |
| 1.00 | -3.00 |
| 1.24 | -3.07 |
| 1.19 | -3.02 |
| 1.23 | -3.06 |
| 1.20 | -3.03 |
| 1.22 | -3.05 |
| 1.20 | -3.03 |
| 1.22 | -3.05 |
| 1.20 | -3.03 |
| 1.22 | -3.05 |
| 1.20 | -3.03 |
Saludos!
Buenas! tenía una duda respecto al metodo Newton Raphson sobre como elegir los valores semilla. Entiendo que son a elección, pero en ciertos ejercicios (por ej el 4) elegie x0=0 te da error, y elegir 0,01 o 0,001 lleva a que la función varie mucho. No se si hay algun criterio a tener en cuenta.
A su vez queria consultar sobre el 7-b donde se habla de N-R para raices múltiples, no fue dado en la teorica y no sabía si es un contenido que se sacó de la materia o debería complementarlo por otro lado. Gracias!
A su vez queria consultar sobre el 7-b donde se habla de N-R para raices múltiples, no fue dado en la teorica y no sabía si es un contenido que se sacó de la materia o debería complementarlo por otro lado. Gracias!
Buenas! la solución numérica está atada a la física del problema, de ahí se puede tener una idea preliminar. Si no, se puede ir probando.
Lo del ejercicio 4, no debería ser tan sensible. Verificá estar trabajando con radianes y no con grados.
Sobre el 7b, si bien no se dio en las teóricas, se puede encontrar en los videos de la cátedra.
Saludos!
Lo del ejercicio 4, no debería ser tan sensible. Verificá estar trabajando con radianes y no con grados.
Sobre el 7b, si bien no se dio en las teóricas, se puede encontrar en los videos de la cátedra.
Saludos!
Buenas, tengo una duda con el ejercicio 1. Intenté resolverlo pero me llama la atención que los errores en cada iteración se agrandan en vez de achicarse. Lo planteé como vienen en el enunciado,
x1 = x2 + x1² - 0.5
x2 = x1² - 5.x1.x2
puede ser que haya otra forma de plantearlo??
Buenas! sí, es correcto lo que te da, porque con esa forma de discretizarlo diverge. Lo que se debe hacer es plantear otra que surja de despejar x e y de otra manera.
Por ejemplo si despejas la otra "x" (tu x1) de la primera ecuación, y la otra "y" (tu x2) de la segunda ecuación, debería converger en x=1.233, y=0.212.
Por las dudas, la ENL tiene 3 soluciones posibles a las que puede converger: la de recién, o (x=-0.178, y=0.290), o (x=-0.455, y=-0.162)
Saludos!
Por ejemplo si despejas la otra "x" (tu x1) de la primera ecuación, y la otra "y" (tu x2) de la segunda ecuación, debería converger en x=1.233, y=0.212.
Por las dudas, la ENL tiene 3 soluciones posibles a las que puede converger: la de recién, o (x=-0.178, y=0.290), o (x=-0.455, y=-0.162)
Saludos!
Buenas! estaba haciendo el mismo ejercicio y no me quedó del todo claro qué me garantiza la convergencia del método del punto fijo. Gracias!
Aclarando mi duda: entiendo que si fuera una sola ecuacion chequeo que la derivada evaluada en el x tena un módulo menor a 1. En el caso de ser un sistema, deberia chequear la norma del jacobiano? O cada ecuacion derivada respecto a la variable a la que corresponde?
1) si es una sola ecuación, efectivamente chequeas que | derivada | < 1
2) si es un sistema, deberías chequear la norma del jacobiano.
De todas formas, en este ejercicio, con tiempo limitado, es más directo probar realizar 2 pasos y fijarse si se ve que nos vamos acercando a valores fijos o si por el contrario se va aumentando la distancia entre las soluciones sucesivas, es decir chequearlo empíricamente.
2) si es un sistema, deberías chequear la norma del jacobiano.
De todas formas, en este ejercicio, con tiempo limitado, es más directo probar realizar 2 pasos y fijarse si se ve que nos vamos acercando a valores fijos o si por el contrario se va aumentando la distancia entre las soluciones sucesivas, es decir chequearlo empíricamente.
Buenas! Puede ser que en este ejercicio falte la tolerancia? Hice el ajuste con cuadrados mínimos y ahora me queda hallar la raíz, como nos dan el intervalo lo quería hacer por Bisección pero como no está el criterio de corte no se hasta donde debería seguir
Buenas! cuando no te lo dan, fijale vos un criterio de corte de forma arbitraria y aclaralo. Saludos!