PROGRAMA ANALÍTICO
1. Espacios Vectoriales
Definición de espacio vectorial . Ejemplos. Subespacios. Combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal. Subespacio generado por un conjunto de vectores. Bases y dimensión. Coordenadas. Matriz de cambio de base.
2. Transformaciones lineales
Propiedades. Inyectividad y sobreyectividad de transformaciones lineales, núcleo e imagen. Inversa. Teorema de la dimensión y sus consecuencias. Representaciones matriciales.
3. Espacios vectoriales con producto interno
Definición de producto interno. Ejemplos más usuales en ingeniería. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Norma y distancia inducidas. Ortogonalidad. Bases ortogonales. Proyección ortogonal y mejor aproximación. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal. Mínimos cuadrados.
4. Autovalores y autovectores de matrices
Propiedades básicas de los autovalores y autovectores de una matriz. Polinomio característico. Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor. Diagonalización de Matrices. Polinomios matriciales. Semejanza de matrices.
5. Matrices hermíticas
Adjunto de una transformación lineal. Transformaciones lineales simétricas, hermíticas, ortogonales y unitarias. Diagonalización de matrices simétricas. Formas cuadráticas.
6. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones
y sistemas con coeficientes constantes. Operador D''+aD'+bI. Soluciones del sistema homogéneo y el general. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. Problema a valores iniciales.
Valores singulares. Relación entre los valores singulares y el rango de la matriz. Descomposición en valores singulares de matrices y aplicaciones.