Hola! Queria saber si esta bien el planteo y tambien ver como sigo para resolver, porque me confunde lo de la restricción de t. Muchas gracias
Hola Pilar,
el razonamiento en general está bien. De todas formas, hay un error cuando planteas la cota:
el razonamiento en general está bien. De todas formas, hay un error cuando planteas la cota:
\( |1+x|< 1 \implies -1<1+x< 1 \implies -2<x<0\)
Esto termina dando como condición
\( -2<-\frac{h}{t_{n}}-hu_{n}<0\implies 0<\frac{h}{t_{n}}+hu_{n}<2\)
El problema entonces se vuelve acotar \( f(u_{n},t_{n})=\frac{h}{t_{n}}+hu_{n}\) entre 0 y 2 teniendo como única información que \(u_{0}=1\) y \(t_{0}=1\). En estas condiciones \( f(1,1)=2h\), es decir que \(h<1\) y no \(h<2\). Sin embargo, tenés que poder afirmar que \( 0<f(u_{n},t_{n})<2\) para todos los valores que analices, no en un único punto. Si bien podes parametrizar \( t_{n}\) como \( t_{n}=t_{0}+nh\) no vas a poder avanzar mucho sin tener información sobre \(u_{n}\):
\( 0<f(u_{n},t_{0}+nh)<2 \implies 0<\frac{h}{t_{0}+nh}+hu_{n}<2\). Si \(u_{n}\) fuese monótona decreciente/creciente podrías avanzar más en el desarrollo encontrando una posible solución, pero no se puede probar eso tampoco (Si la derivada y' fuese siempre negativa o siempre positiva, si se podría probar esto último).
Creo que el ejercicio apuntaba a una justificación teórica de la estabilidad utilizando un método implícito (Como Euler implicito).
Saludos!