Análisis Matemático III - Página de Cátedra

Análisis Matemático III - Programa analítico

1. Números complejos. Regiones en el plano complejo. Plano complejo extendido.
2. Funciones complejas. Límite y continuidad. Derivabilidad. Condiciones de Cauchy-Riemann. Holomorfía. Funciones armónicas. Interpretación geométrica de la derivada. Transformaciones conformes. Estudio de las funciones elementales y multiformes.
3. Integración de funciones de variable compleja. Integral curvilínea. Definición. Propiedades. Teorema de Cauchy. Corolarios. Fórmula integral de Cauchy. Fórmulas generalizadas de Cauchy. Teoremas relacionados.
4. Sucesiones y series numéricas. Sucesiones y series funcionales. Convergencia puntual y uniforme. Criterio de Weierstrass. Integración y derivación de series. Series de potencias. Series de Taylor y Laurent.
5. Singularidades. Residuos. Teorema de los residuos. Aplicación al cálculo de integrales de variable real. Integrales impropias de variable real: convergencia y cálculo mediante el teorema de los residuos.
6. Ecuaciones en derivadas parciales clásicas y problemas de contorno. Ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas. Método de D'Alembert.
7. Series de Fourier. Propiedades. Convergencia. Método de separación de variables.
8. Transformada de Fourier. Existencia. Propiedades. Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales.
9. Transformada de Laplace. Existencia. Propiedades. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.