Facundo, propongo ir a un ejemplo más simple: $$\eta_{1}=a+b$$. Si consideramos los errores, por redondeo (suponiendo una unidad de máquina $\mu$) y error de entrada ($$\Delta a$$ y $$\Delta b$$), de esta expresión: $$\eta_{1} \Delta\eta_{1}=a+\Delta a+b+\Delta b+\mu \eta_{1}$$. Es posible ver que el error relativo de esta expresión es $$r_{\eta_{1}}=\frac{\Delta a}{\eta_1}+\frac{\Delta b}{\eta_{1}}+\mu$$.
En este caso, nos interesa que la expresión sea $$r_{\eta}=\sum f_{i}r_{i}+\sum g_{i}\mu_{i}$$. Para esto, se puede considerar que $r_{a}=\frac{\Delta a}{a}$. Entonces: $$r_{\eta_{1}}=\frac{r_{a} a}{\eta_1}+\frac{r_{b} b}{\eta_{1}}+\mu$$. En ese caso r_{a} es amplificado por el coeficiente $$f_{a}=\frac{a}{\eta_{1}}$$, lo mismo sucede para $$r_{b}$$.
Finalmente, se puede acotar la expresión de $$r_{\eta_{1}}$$ considerando $$R=max(r_{a},r_{b})$$ y aplicando la desigualdad triangular. Esto da la siguiente cota:
$$R_{\eta_{1}}=R(|\frac{a}{a+b}|+|\frac{b}{a+b}|)+\mu$$
Obviamente hacer este desarrollo para operaciones más extensas se vuelve más complejo. En estos casos es útil usar la gráfica de procesos utilizando los factores de amplificación conocidos que están en la tabla. Por ejemplo, si definimos una nueva operación $$\eta_{2}=\eta_{1}+c$$ entonces el error relativo se vuelve $$r_{\eta_{2}}=r_{\eta_{1}}\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}+r_{c}\frac{c}{\eta_{2}}+\mu_{2}=(\frac{r_{a} a}{a+b}+\frac{r_{b} b}{a+b}+\mu_{1})\frac{a+b}{a+b+c}+r_{c}\frac{c}{a+b+c}+\mu_{2}$$ ¿Cómo podrías acotar esta expresión?¿Qué pasaría si a=b=c?
En este caso, nos interesa que la expresión sea $$r_{\eta}=\sum f_{i}r_{i}+\sum g_{i}\mu_{i}$$. Para esto, se puede considerar que $r_{a}=\frac{\Delta a}{a}$. Entonces: $$r_{\eta_{1}}=\frac{r_{a} a}{\eta_1}+\frac{r_{b} b}{\eta_{1}}+\mu$$. En ese caso r_{a} es amplificado por el coeficiente $$f_{a}=\frac{a}{\eta_{1}}$$, lo mismo sucede para $$r_{b}$$.
Finalmente, se puede acotar la expresión de $$r_{\eta_{1}}$$ considerando $$R=max(r_{a},r_{b})$$ y aplicando la desigualdad triangular. Esto da la siguiente cota:
$$R_{\eta_{1}}=R(|\frac{a}{a+b}|+|\frac{b}{a+b}|)+\mu$$
Obviamente hacer este desarrollo para operaciones más extensas se vuelve más complejo. En estos casos es útil usar la gráfica de procesos utilizando los factores de amplificación conocidos que están en la tabla. Por ejemplo, si definimos una nueva operación $$\eta_{2}=\eta_{1}+c$$ entonces el error relativo se vuelve $$r_{\eta_{2}}=r_{\eta_{1}}\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}+r_{c}\frac{c}{\eta_{2}}+\mu_{2}=(\frac{r_{a} a}{a+b}+\frac{r_{b} b}{a+b}+\mu_{1})\frac{a+b}{a+b+c}+r_{c}\frac{c}{a+b+c}+\mu_{2}$$ ¿Cómo podrías acotar esta expresión?¿Qué pasaría si a=b=c?