Hola Pilar, la verificación de las hipótesis de punto fijo depende mucho del tipo de función con el que estás trabajando. En general, vas a tener que usar herramientas de análisis matemático (Optimización de funciones, Teorema de Bolzano).
Si el enunciado no da ningún intervalo, podes utilizar un método tipo bisección para identificar un intervalo en donde está la solución o graficar algunos valores y ver cambios de signo.
Siempre te va a ayudar hacer un gráfico de \(f(x)\), \(g(x)\) y \(g'(x)\) para saber que tan posible va a ser probar el teorema del punto fijo en ese intervalo. Una vez con el gráfico podés hacer la demostración encontrando los mínimos y máximos de \( g(x)\) en el intervalo (así sabés que \(g(x) \in (min(g(x)), max(g(x)))\) ). Para acotar la derivada en el intervalo el tratamiento va a ser el mismo.
Si el enunciado no da ningún intervalo, podes utilizar un método tipo bisección para identificar un intervalo en donde está la solución o graficar algunos valores y ver cambios de signo.
Siempre te va a ayudar hacer un gráfico de \(f(x)\), \(g(x)\) y \(g'(x)\) para saber que tan posible va a ser probar el teorema del punto fijo en ese intervalo. Una vez con el gráfico podés hacer la demostración encontrando los mínimos y máximos de \( g(x)\) en el intervalo (así sabés que \(g(x) \in (min(g(x)), max(g(x)))\) ). Para acotar la derivada en el intervalo el tratamiento va a ser el mismo.
Saludos!